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Cuando se desea llevar a cabo un análisis sísmico de un edificio, como regla general, deberán considerarse las siguientes dos ideas:
- La fuerza lateral de diseño deberá obtenerse considerando el edificio como un todo.
- La fuerza lateral de diseño será posteriormente distribuida en las distintas plantas del mismo.
Existen dos procedimientos comúnmente empleados para la obtención de las fuerzas laterales sísmicas de diseño:
1. Análisis de las fuerzas estáticas equivalentes.
2. Análisis dinámico.
1.- Análisis de las fuerzas estáticas equivalentes.
Conceptualmente se trata de un análisis dinámico que se divide en una parte dinámica y en otra estática para obtener el máximo desplazamiento. Se restringe únicamente a un único modo de vibración de la estructura.
El análisis de las fuerzas estáticas equivalente se basa en las siguientes hipótesis:
- Se asume que la estructura es rígida.
- Se asume un empotramiento perfecto entre la estructura y la cimentación.
- Durante el movimiento del terreno todos los puntos de la estructura experimentan las mismas aceleraciones.
- El efecto dominante del sismo es equivalente a una fuerza equivalente cuya magnitud varía con la altura.
- Determina de forma aproximada la fuerza horizontal total (cortante básico) en la estructura.
Este tipo de análisis tiene una serie de limitaciones y cada norma establece una serie de supuestos para los que es aplicable. De forma general, el análisis de las fuerzas estática equivalentes será aplicable en edificios regulares, es decir, edificios que presenten un distribución uniforme de masas y rigideces. Se restringe a sistemas estructurales que pueden representarse por dos modelos planos cuyo comportamiento queda principalmente determinado por sus periodos fundamentales de vibración y, por lo tanto, no influenciados por la contribución de periodos más altos.
La fuerza lateral total debida a la acción sísmica se determina para cada dirección principal del siguiente modo:
donde:
Sd: ordenada del espectro de diseño para el periodo fundamental de vibración T1.
Gtot: peso total de la estructura considerando las cargas muertas y parte de las sobrecargas de acuerdo con los códigos.
λ: factor de reducción de masas aplicable bajo ciertas condiciones (ver códigos).
La distribución de la fuerza lateral total sobre todas las plantas se basa en un modo propio virtual y se calcula de acuerdo con la siguiente fórmula:
Fdi: fuerza lateral en la planta i
Fd: fuerza lateral total
si, sj: factores de ponderación para las plantas i, j
Gi, Gj: peso de las plantas i, j (Gtot=suma de todos los Gi)
Los factores de ponderación son los desplazamientos horizontales del modo propio virtual a la altura de cada planta. El modo propio virtual puede tener las siguientes distribuciones:
1) distribución del modo fundamental de vibración
2) distribución lineal (seleccionado por defecto)
3) desplazamiento constante
Para la distribución lineal la fórmula anterior quedaría como:
zi: altura de las plantas
2. Análisis dinámico
El análisis dinámico se clasifica en dos tipos:
- Análisis Modal Integrado en el Tiempo (Time History Method).
- Método del Espectro de Respuesta.
STATIK ofrece la opción de llevar a cabo el análisis sísmico según el Método del Espectro de Respuesta. En la futura Generación 8 también estará disponible la opción del Análisis Modal Integrado en el Tiempo.
Para llevar a cabo el análisis sísmico disponible en STATIK es necesario definir el espectro de diseño de la aceleración del suelo. Hay dos formas para introducir el espectro:
- utilizando las fórmulas para el espectro estándar de un código específico.
- introduciendo una curva general (definido por el usuario).
Si consideramos como normativa el Eurocódigo 8, la formulación es la siguiente:
Factor de zona α: aceleración básica horizontal máxima A=α*g (g =aceleración de la gravedad=9.81m/s2)
Tipo de suelo "A", "B", "C", "D", "E": especifica los rangos límite TB, TC y TD y otros parámetros del espectro.
Tipo de suelo "definido por el usuario": los parámetros TB, TC y TD pueden ser especificados por el usuario.
Excitación sísmica horizontal (valores del espectro elástico):
Tipo I
Tipo II
Con estos parámetros, el espectro de diseño para las excitaciones horizontales se define como:
Excitación sísmica vertical:
Para las componentes verticales de la acción sísmica, el espectro de diseño es definido por las expresiones de arriba con la aceleración del suelo vertical de diseño, Av reemplazando A y con los parámetros siguientes:
Una vez definido el espectro de respuesta se deberá obtener el peso sísmico del edificio para, a continuación, establecer la matriz de masas [M] y la matriz de rigidez [K] empleando un sistema de masas concentrado en cada una de las plantas, teniendo cada una de las masas un grado de libertad.
Utilizando las matrices [M] y [K] obtenidas y en base a los principios de la dinámica se obtendrán las frecuencias modales {w} y los correspondientes modos de vibración [Φ].
|K-M*w^2| = 0 --> {w}
([K]-w^2*[M]){Φi} = {0} --> {Φi}
Los periodos naturales serán Ti = 2π/wi
Se obtendrán las masas modales Mk de cada modo k utilizando la siguiente relación, siendo n el número de modos considerado:
Los factores de participación modal Pk de cada modo k se obtendrán con la siguiente expresión, siendo n el número de modos considerado:
A continuación se obtendrán las fuerzas laterales para cada planta y en cada modo de vibración (planta i, modo k):
Qik=Sd*Φik*Pk*Wi
Y los cortantes en cada planta:
Finalmente se obtienen los cortantes debidos a todos los modos considerados, combinando los cortantes obtenidos en cada uno de los modos aplicando el método CQC (Complete Quadratic Combination) o el método SRSS (Square Root of Square Sum).
Una vez vista la teoría de cada uno de los métodos, ¿qué obtenemos en STATIK con cada uno de ellos?
Para responder a la pregunta anterior vamos a considerar un ejemplo sencillo de un edificio de 4 plantas sustentado únicamente por columnas:
Además de las cargas muertas debidas al peso propio de los elementos, vamos a considerar una sobrecarga en las plantas L1-L3 (todas las plantas salvo la cubierta).
Antes de comparar los resultados obtenidos con cada uno de los métodos es importante saber que los valores que se obtienen para los cortantes aplicando el método del espectro de respuesta siempre serán menores que los obtenidos aplicando el método de las fuerzas equivalentes. Esto se debe a que el método de las fuerzas equivalentes es una aproximación del lado de la seguridad y que, como hemos comentado más arriba, no es aplicable en cualquier caso.
Si definimos un espectro estándar según el Eurocódigo 8 de la siguiente forma:
- Resultados con el método de fuerzas equivalentes:
El espectro de respuesta es:
Y los resultados de cortantes en cada planta y en cada dirección X e Y (en este caso serán iguales al ser el edificio simétrico):
Vemos que el cortante máximo obtenido es de 887.41kN y será el correspondiente al cortante total en la base del edificio.
- Resultados con el método del espectro de respuesta:
STATIK nos proporcionará los cortantes para cada uno de los pilares por lo que para obtener un valor comparable al obtenido con el método anterior deberemos sumar los cortantes en la base de los pilares de la planta inferior. Además deberemos elegir una de las direcciones.
Si nos fijamos en los cortantes en la dirección X, Vx:
Vemos que deberemos sumar los cortantes en la base de los pilares de la serie "L1-". En la tabla de resultados, estos valores son los correspondientes a los cortantes para la "Distancia=0m" (los equivalentes a los indicados a continuación para los 16 pilares, C1-C16):
La suma de todos estos valores arroja un cortante total de 682.54 kN que, como vemos, efectivamente es inferior al cortante obtenido con el método anterior de 887.41kN.
NOTA: en el manual de CEDRUS (E.4.3.4.) se deja claro lo explicado en este artículo en cuanto a la diferencia entre los valores obtenidos con cada método:
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